Fondamenti della meccanica atomica
da cui, derivando due volte,
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costante (perchè x ed ydevono poter variare indipendentemente): si hanno così due equazioni a derivate ordinarie per le due funzioni X ed Y. Così il
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dove sono definite dalla (82) e dalle altre due analoghe.
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Identificando le due espressioni di 1/v ha, con ovvia riduzione,
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È naturale ammettere che anche per le onde di De Broglie valga un principio di sovrapposizione analogo a quello dell'ottica. Consideriamo perciò due
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In questa equazione il primo e l'ultimo termine dipendono solo da r, gli altri due solo da e da : quindi l'equazione si spezza nelle due
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con che l'equazione si spezza nelle due
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dove è una funzione olomorfa che non si annulla per 1 — x = O : di queste due forme, quella con esponente negativo ha un polo per e quindi va
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Queste due espressioni rappresentano approssimativamente due diversi integrali della (294).
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Per distinguere tra loro i due stati dell'atomo, corrispondenti alle due orientazioni dello spin, basta aggiungere alla indicazione dei tre numeri
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Tornando ora ai sistemi idrogenoidi ed ai metalli alcalini, si osservi che ai due valori del quanto interno j corrispondono due livelli energetici
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Eliminando v tra queste due equazioni si trova
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si può definire il prodotto scalare di due vettori f, g:
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Estendiamo ora allo spazio hilbertiano la formula (2): prodotto scalare di due vettori f, g, rappresentanti le funzioni f(x), g(x), o prodotto
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(1) Veramente, due funzioni i cui valori siano uguali dappertutto, tranne in alcuni punti x costituenti un aggregato di misura nulla, hanno
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Invece i due o. l.
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Evidentemente, il prodotto di due o. l. è anch'esso lineare.
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Passiamo ora a definire una funzione di più o. l. , , limitandoci (per semplicità di scrittura) al caso di due. Data una funzione sviluppabile di due
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Passiamo al prodotto di due matrici . Chiamiamo l'o. l.
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Naturalmente il prodotto di due matrici non è commutativo, eccettuato il caso che i due operatori corrispondenti siano permutabili, nel qual caso
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(si osservi, sotto punto di vista mnemonico, che scrivendo, come si è fatto, i due fattori e nell'ordine corrispondente a quello della (26), i due
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La formula (28) equivale, come si vede facilmente, alla seguente regola: «il prodotto di due matrici si effettua con la nota regola del prodotto di
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Sommando le ultime due, e badando alla definizione (50) si ha
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Applicando ai due membri l'o. l. si ottiene
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ossia, uguagliando l'elemento generico (m, k) nei due membri,
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Supponiamo ora invece che le due palline siano così grandi che in ogni scompartimento ve ne entri una sola: allora per ciascuna di esse vi è ancora
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dove le due funzioni e soddisfano alle
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come pure sono evidentemente permutabili due o due
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e similmente per e . Notiamo innanzi tutto che queste tre osservabili sono incompatibili due a due: difatti si ha p. es.
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In corrispondenza a questa rappresentazione, è conveniente rappresentare gli operatori mediante matrici, osservando che essi hanno solo due
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La (246), come pure la (246'), si ,può considerare formalmente come una equazione nella , ovvero, più esplicitamente, come un sistema di due
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cioè : di qui i due valori di , corrispondenti ai due valori 1,2 dell'indice s,
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o antiparallelamente al campo, corrispondendo ai due casi i due valori (250) dell'energia magnetica,.
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Infatti la (246') si scinde allora nelle due
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Introduciamo le matrici a due righe e inoltre le tre matrici (a due righe e due colonne) , definite al § 45, e che ora per comodità indicheremo con
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Tenendo conto dell'ultima di queste, si vede che nelle prime due delle equazioni (272) si elimina il termine della prima parentesi, mentre nelle
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In questa sommatoria doppia, i sei termini in cui si possono riunire due a due nel modo seguente. Si considerino p. es. i due termini : in virtù
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Possiamo dunque dire che, delle quattro , le due con indice dispari corrispondono (nel modello vettoriale) allo spin orientato parallelamente
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possono fissare arbitrariamente due delle quattro a, e ricavare le altre due: le (293) hanno quindi due soluzioni linearmente indipendenti, che
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Poichè il quarto numero quantico, s, può assumere solo due valori, se si fissano i valori dei tre numeri quantici n, l, m (detti «orbitali») vi
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Poniamoci dapprima nell'approssimazione zero, cioè trascuriamo l'interazione tra le due particelle. Possiamo allora considerare ciascuna di esse come
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e quindi il livello (371) si scinde nei due livelli
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mentre l'autofunzione di spin si riduce, in sostanza, a un gruppo di due costanti e (corrispondenti rispettivamente ai due valori ± l della variabile
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Si noti che, poichè s può assumere solo due valori, esistono solo due «funzioni », ossia coppie (): supporremo tali «funzioni» ortogonali e
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Sostituendo nei sistemi (394) le (399) e le (400) si trova che, per i = l, 2, 3, le prime due equazioni sono identicamente soddisfatte e le altre due
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trova in un campo magnetico, esso può assumere due sole orientazioni, e cioè con lo spin parallelo o antiparallelo al campo, a ciascuna delle quali
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Nei problemi concreti, si deve disporre delle due costanti c1, c2 in modo che la y soddisfi a due altre condizioni imposte dal problema: p. es., che
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Questa equazione vincola i valori, nei punti a e b, dei due integrali fondamentali y1,y2 , e naturalmente si ottiene un'equazione della stessa forma
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Consideriamo due autofunzioni yn, ym, della (14), relative alle condizioni (α), ed appartenenti a due distinti autovalori λn, λm: esse soddisferanno
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ad un autovalore corrispondano due autofunzioni linearmente indipendenti, nel qual caso l'autovalore si dirà doppio e si dirà, con locuzione divenuta
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Accademia della crusca
